PENALARAN INDUKTIF DAN DEDUKTIF DALAM MATEMATIKA

fasifah   December 26, 2013   Matematika   2 comments  

Penalaran dalam matematika ada dua macam yaitu penalaran induktif dan penalaran deduktif.

PENALARAN INDUKTIF

Penalaran induktif adalah suatu proses berfikir berupa penarikan kesimpulan yang bersifat umum (berlaku untuk semua/ banyak) atas dasar pengetahuan tentang hal-hal khusus (fakta). Artinya dari fakta-fakta yang diperoleh kemudian ditarik sebuah kesimpulan. Penalaran induktif dapat dilakukan secara terbatas dengan mencoba-coba. Sehingga dapat dikatakan bahwa penalaran induktif adalah proses penarikan kesimpulan dari kasus-kasus khusus menjadi kesimpulan yang bersifat umum.

Beberapa contoh pembelajaran dengan pendekatan induktif misalnya pembelajaran inkuiri, pembelajaran berbasis masalah, pembelajaran berbasis proyek, pembelajaran berbasis kasus, dan pembelajaran penemuan. Pembelajaran dengan pendekatan induktif dimulai dengan melakukan pengamati terhadap hal-hal khusus dan menginterpretasikannya, menganalisis kasus, atau memberi masalah konstekstual, siswa dibimbing memahami konsep, aturan-aturan, dan prosedur-prosedur berdasar pengamatan siswa sendiri.

Induksi Matematika

Pembuktian cara induksi matematika merupakan pembuktian deduktif, meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli..

Pembuktian cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar untuk semua bilangan asli atau semua bilangan dalam himpunan bagiannya. Caranya ialah dengan menunjukkan bahwa sifat itu benar untuk n = 1 (atau S(1) adalah benar), kemudian ditunjukkan bahwa bila sifat itu benar untuk n = k (bila S(k) benar) menyebabkan sifat itu benar untuk n = k +1 (atau S(k+1) benar).

Contoh

Buktikan bahwa jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n²

Bukti

Harus dibuktikan S(n) = 1 + 3 + 5 + … + 2n-1 = n²

(1) untuk n = 1, benar bahwa S(1) = n² = (12) = 1

(2) Andaikan benar untuk n = k, yaitu

S(k) = 1 + 3 + 5 + … + 2k-1 = k², maka akan dibuktikan benar pula untuk n = k+1, yaitu

S(k+1) = 1+ 3 + 5 + …+ 2k-1 + 2(k+1) – 1 = (k + 1)².

Sehingga 1+ 3 + 5 + …+ 2k-1 + [2(k+1) – 1] = k² + 2(k+1) – 1

= k² + 2k+ 1

= (k + 1)² (terbukti benar)

Jadi, S(n) benar untuk semua bilangan asli.

PENALARAN DEDUKTIF

Penalaran-penalaran yang demikian dalam matematika dikenal dengan istilah penalaran deduktif. Menurut kaidah bahasa Indonesia, penalaran deduktif berarti penalaran yang bersifat deduksi, yaitu penalaran atas dasar hal-hal yang bersifat umum kemudian diturunkan ke hal-hal yang khusus. Sedangkan penalaran induktif, secara bahasa berarti penalaran yang bersifat induksi, yaitu penalaran atas dasar dari hal-hal yang bersifat khusus, kemudian disimpulkan menjadi yang bersifat umum.

Aturan Inferensi Deduksi

Inferensi argumen yang tepat tanpa berdasar kemungkinan disebut inferensi deduksi.       

Contoh 1

Semua bilangan imajiner adalah bilangan kompleks

adalah bilangan imajiner

Jadi, adalah bilangan kompleks

Bukti Langsung

Termasuk dalam bukti langsung ini di antaranya aturan penarikan kesimpulan modus ponens, inferensi deduksi, dan implikasi transitif.

1. Pembuktian dengan Aturan Modus Ponen (modus ponendo ponens)

Aturan dasarnya: “bila p menyebabkan q, ternyata p benar, maka q benar”

Premis (1) :            p® q

Premis (2) :            p

Konklusi   :            q

atau ditulis (p® q) Ùq ® q

2. Pembuktian dengan Implikasi Transitif

Aturan dasarnya:

Premis (1) :            p® q

Premis (2) :            q ® r

Konklusi   :            p ® r

atau ditulis (p® q) Ù (q ® r) ® (p ® r)

Contoh 2

Buktikan bahwa dalam himpunan bilangan cacah, kuadrat bilangan ganjil adalah bilangan ganjil

Bukti

Dalam bentuk simbol logika dapat ditulis sebagai berikut.

m Î bilangan cacah, (m) (m bilangan ganjil ® m² bilangan ganjil)

Premis (1) : m bil. ganjil ® ada n bil. cacah sehingga m = 2n+1

Premis (2) : m = 2n + 1 ® m² = (2n + 1)²

= 4n² + 4n + 1

= 2(2n² + 2n) + 1

= 2p + 1 adalah bilangan ganjil

Kesimpulan : Jadi, m bilangan ganjil ® m² bilangan ganjil

Karena itu, jika , maka Ð VST = 90⁰

Kontrapositif

Contoh

Buktikan bahwa jika hasil kali dua bilangan asli x dan y adalah ganjil, maka x dan y kedua-duanya ganjil

Bila pernyataan jika hasil kali dua bilangan asli x dan y adalah ganjil, maka x dan y kedua-duanya ganjil ditulis sebagai p® q, maka p dan q masing-masing menjadi:

p : hasil kali dua bilangan asli x dan y adalah ganjil

q : x dan y kedua-duanya ganjil

Akan dibuktikan kontrapositifnya, yaitu ~q® ~p, sehingga

~q : x dan y kedua-duanya tidak ganjil

Karena x dan y tidak ganjil, artinya genap, maka x = 2n dan y = 2m, untuk m, n Î bilangan asli.

Sehingga xy = (2n)(2m) = 2 (2mn). Jadi, xy adalah bilangan genap. Artinya, hasil kali dua bilangan aslil x dan y ternyata tidak ganjil, apabila x dan y masing-masing bukan bilangan ganjil. Dengan kata lain,

~p : hasil kali dua bilangan asli x dan y adalah ganjil.

Dengan demikian telah dibuktikan ~q® ~p benar.

Bukti Tidak Langsung

Pembuktian argumen dengan cara ini dilakukan dengan jalan membentuk negasi dari konklusinya, yang kemudian dijadikan premis tambahan. Jika akibat langkah ini muncul kontradiksi, maka argumen yang dibuktikan adalah valid.

Strateginya dimulai dengan memandang negasi dari proposisinya terbukti. Misalnya, kita ingin membuktikan proposisi p. Kita pandang negasinya, yaitu ~p. Kita buktikan bahwa ~p terjadi kontradiksi, misalnya q dan ~q (tidak mungkin dua sekaligus, sehingga pasti salah). Dari kontrapositif kondisi itu, kita telah membuktikan negasi dari negasi proposisi. Dengan demikian, kita menunjukkan bahwa ~(q Ù ~q) ® ~ (~p), sehingga ~(~p) = p.

Pembuktian tak langsung, dikenal pula dengan pembuktian kontradiksi atau reduction ad absurdum. Pembuktian dengan cara tidak langsung memang rumit, tetapi hal ini dilakukan manakala kita dihadapkan pada masalah pembuktian yang sulit diambil penalarannya secara langsung.

Bukti (tidak langsung)

Contoh 2.14

Buktikan adalah bilangan irasional

Bukti (tidak langsung)

Andaikan adalah bilangan rasional, maka = (a,b Î bilangan bulat, b ¹ 0, a dan b tidak mempunyai faktor persekutuan)

Jika = , maka 3 = Û a² = 3b² ……………………… (1)

Artinya, 3b² adalah bilangan kelipatan 3. Jadi, a² adalah bilangan kelipatan 3. Bila a² kelipatan 3, maka a juga bilangan kelipatan 3.

(Sebab, dengan menggunakan kontrapositifnya : a ¹ kelipatan 3, maka a² ¹ kelipatan 3. Artinya, a ¹ kelipatan 3, yaitu :

a = 3k + 1, maka a² = 9k² + 6k + 1 = 3(3k² + 2k) + 1 ¹ kelipatan 3

a = 3k + 2, maka a² = 9k² + 12k + 4 = 3(3k² + 4k) + 4 ¹ kelipatan 3

sehingga a² ¹ kelipatan 3)

Karena a bilangan kelipatan 3,

artinya a = 3c, untuk c Î bilangan bulat ……………..………(2)

a = 3c Û a² = 3c², padahal a² = 3b² sehingga (3c)² = 3b² Û b² = 3c²

Berarti b² bilangan kelipatan 3 (dengan cara serupa seperti di atas, diperoleh bahwa b juga bilangan kelipatan 3).

Karena a dan b kelipatan 3, maka mempunyai faktor sekutu 3. Hal ini bertentangan (kontradiksi) dengan definisi bilangan rasional (pengandaian di atas). Jadi haruslah bilangan irasional.

kunci penalaran matematika, penalaran deduktif, penalaran iduktif